怪人二十一休さん

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「桃太郎電鉄2010」に登場するキャラクター「怪人二十一休さん」は、現れるとプレイヤーがサイコロを7個振らされ、出目の総和が20以下だと「21回休み」にさせられるという恐怖のキャラクターです。では、そうなる確率ってどれくらいでしょうか？さすがに50%未満でしょうが…。

近似的に計算する

※大学教養課程程度の統計学の知識を前提として説明します。「結論が早く知りたいよ！」という方は説明を飛ばしてページ下方へ。

サイコロ7個の出目をX₇という確率変数で表すと、X₇の平均と分散は予備知識2. から

E(X₇) = 7E(X) = 49/2
V(X₇) = 7V(X) = 245/12

となります。よって、中心極限定理を用いれば、X₇の分布は(近似的に) N(49/2, 245/12) に従うとわかります。

次に、Z := (X₇ - 49/2) / √(245/12) とおいてX₇を標準化します(予備知識4.)。今考えている「出目が20以下」という条件は、連続分布の上では X₇ < 20.5 と解釈することができます(予備知識2.)。このときZに関して成り立つ不等式は

Z < -4 / √(245 / 12) = -8√15 / 35 ≒ -0.885

となりますので、この確率を標準正規分布表と予備知識6.から求めればよいわけです。

P(Z < -0.885) = P(Z > 0.885) ≒ 0.188

よって、求める確率は 約0.188 (18.8%) と求められました。(終)

結局、2割近い確率で負けるというわけです。出てこられたら納得いかないな(^^;;

ついでに、出目21以上を出せば助かりますから、休みになる月数(ターン数)の期待値は 0.19 × 21 ≒ 4.0、つまり4ヶ月ということになります。やっぱり面倒臭い奴。

表計算ソフトで計算する

サイコロ5vs10のページにサイコロの出目の分布表を載せていましたが、今回は分布よりも累積分布(つまり、出目がある数以下になる確率)が知りたいわけです。というわけで、それもちゃんと計算してみました。

サイコロ10個までの詳細な計算結果は「ダウンロード」に置いてありますが、今回問題としている「サイコロ7個の出目が20以下になる確率」は 約0.1917 (19.17%) となりました。累積分布表を見ると、他にも「新幹線カード(サイコロ4個)を使って出目が1桁という不運が起こる確率は約9.7%」「のぞみカード(サイコロ5個)を使えば9割の確率で13以上が出る」などの結果がわかります。